y=x^1/2-(x-1)^1/2的单调性

y=x^1/2-(x-1)^1/2
=1/(x^1/2+(x-1)^1/2)
x>1
x-1>0
x变大x^1/2变大，(x-1)^1/2也变大，所以(x^1/2+(x-1)^1/2)变大
所以y变小。
所以函数单调递减。
还可以通过定义来证明他的单调性

y=x^1/2-(x-1)^1/2
任取x1 x2属于（1，正无穷）,且x1<x2
f(x1)-f(x2)= [x1开方-x2开方] + [(x2-1)开方-(x1-1)开方]
(分子有理化)
=(x1-x2)/(x1开方+x2开方) + (x2-x1)/[(x2-1)开方+(x1-1)开方]
(提出公因式)
=(x1-x2)*{1/(x1开方+x2开方) -1/[(x2-1)开方+(x1-1)开方]}
因为x1<x2
所以x1-x2<0
又因为 x1>x1-1 x2>x2-1
所以 x1开方>(x1-1)开方 x2开方>(x2-1)开方
所以 x1开方+x2开方 > (x2-1)开方+(x1-1)开方 >0
所以根据不等式性质 两边取倒数,不等号方向改变,
1/[x1开方+x2开方] < 1/[(x2-1)开方+(x1-1)开方]
所以 1/(x1开方+x2开方) -1/[(x2-1)开方+(x1-1)开方]<0
所以f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以这个函数在(1,无穷大)是减函数.